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福州一中林元:最佳派对问题的解题报告

2009年12月10日 来源:本站原创

〖思路〗

  本题是经典的求二部图最大匹配,使用标号法解决。

〖算法〗

  求二部图最大匹配的算法。

  附加网D的构造

  1.将每个中国同学变为一个点Xi(i=1..n),每个外国同学变为点Yi(i=1..n),新增原点s与汇点t。
  2.由s向每个点Xi发出一条边,容量为1。
  3.若中国同学i与外国同学j可以形成搭配,则新增一条有向边(Xi,Yj),容量为1。
  4.由每个点Yi向t发出一条变,容量为1。

  标号法

  1. 清零流:将每条边的流量都清为0。

  2. 寻找可改进路

    (1) 将源点s标号为1,其余顶点标号为0。
    (2) 检查所有标号为1的顶点A:对于所有边(A,B)(称为前向弧),若B标号为0,且该边未满,则将B标号成为2;对所有边(B,A)(称为后向弧),若B 标号为0且该边上有流,也将B标号为2。所有从A得到标号的点的前趋记为A。最后将A标号成2。
    (3) 重复第(2)步,直到t获得标号(找到可改进路)或再无标号为1的点(无法找到可改进路)为止。
  如果找到了可改进路,进入步骤3;否则最大流已经找到,退出标号法。

  3. 增加流

  从t起,沿着记下来的前趋节点得到一条路经S:s→V1→V2→V3→V4→…→t。对于S上的每条边(Vi,Vj),若该边为前向弧,则将该边流增加1(对于本题来说),否则将该边的流减少1。这样就可以得到一个新的增加了流的网络。
  回到步骤2。

  得到答案

  1.最大流 |V| 即为最佳派对数。
  2.若边(Xi,Yj)上有流,则中国学生i与外国学生j配对。

〖数据结构〗

  使用临接表。
 

 

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